過去問です。ホームページからダウンロードしてください。
平成26年度を飛ばしましたが、実はまだラプラス変換の勉強がまだです。^^;
ラプラスが混じってる年度分はあとで追加します。すみません( TДT)
25年度の5番はちょっと難しかったと思います。実際本番だったらデルタ関数やら行列やらであまり手をつけなくない気分ですが、せっかくなので解いてみましょう。
では始めます。
Ⅰ。
説明はいらないですよね。ただ式に代入してデルタ関数の性質を利用してます。デルタ関数の性質はいろいろありますが、よく使われる性質は精々2つぐらいかなーって思います。
Ⅱ。
指数関数の周期を持っているかを確かめる問題です。とある関数がとある周期Tで動くのかを確認するためには、周期T分動かした結果が元の状態と同一または近似するか確認する方法です。
はの周期関数であるため、共通な周期はですよね。
なぜ、共通の周期はk=1の場合かってなりますが、最小公倍数をとっているだけです。
Ⅲ。
のフーリエ係数を計算
を式3に代入して合わせば下式のようになる。
これもまた、デルタ関数の性質を利用してます。
積分区間にデルタ関数の値が含まれていればその積分値は1を返すという性質です。
がnに関して周期を持つということはn以外の変数は相打ちされ、周期に影響を及ぼさないと予想できます。ならば、周期はが含まれ、共通の周期Lはk=1でKです。
Ⅳ。
K=6の場合
と表せます。をもう少し書いてみると問題の行列なんちゃらの話が見え始めると思います。
で、問題で は6次元列ベクトルfに対してLx6の行列Wを乗じて得られるL次元列ベクトルだと言ってるので
f= 6x1 , d= 6x1 W= 6x6
d=W*fということがわかります。
fは式6で与えられた通りなので、Wは上式のとの積だとわかりますよね。
で、最後の作業で問題でと制限をおいたので、で以上のやつは変換させる必要があります。
複数関数論を勉強した方はわかると思いますが、は、時計回り方向でずつ回転します。