ガラクタの箱

主に院試対策

東京大学院工学系数学 2016年度(平成28年度) 第5問

院試解答数学 2016 第5問

入る前に

どんどん載せていくと思いますが、多分ブログのメイン投稿は主に東京大学大学院　工学系　数学の(自分なりの）解答になろうと考えています。

もちろん投稿した内容がすべて正解とも限らないし、（逆に正解なのか確かめたい点もあります）自分みたいにあまり友達のいない、周りに他大院試する人がなくて情報も足りない人に役立ちできたらと思います。

問題は著作権のため、ブログに載せません。投稿の一番上に東京大学のURLを貼っておくので利用してください。そもそも手にもってらっしゃる方がほとんどだとおもいますが。

数式書くのにあまりにも時間がかかるので（すみません）部分積分のようなあまり解答の肝に関係ない部分は飛ばしますのでご了承ください。

第５問

Ｉ-1.

f:id:wjsgksmf818:20200825175422p:plain

要は関数をフーリエ展開せよってことなので与えられた式に代入して進めます。

まず、フーリエ展開係数である $b_n$ を求めます。

f:id:wjsgksmf818:20200825175637p:plain

部分積分が苦手ですので分けて計算して足してます；；飛ばしても結構です。

f:id:wjsgksmf818:20200825175726p:plain

f:id:wjsgksmf818:20200825175809p:plain

2つの項を足してやるとフーリエ展開係数が求められます。

f:id:wjsgksmf818:20200825175822p:plain

あとは式１に $b_n$ を代入して表した下式が1番問題の回答になります。

式にずっと見る"pi"は $\pi$ です。今回だけ許してくださいm(_ _)m　 $\pi$ の入力があまりにもめんどかったので。。。。なるべくなくします。

Ｉ-2.

f:id:wjsgksmf818:20200825175901p:plain

展開式をそのまま少し書いてみると $f(x)$ に $\frac{\pi}{2}$ を代入すればいいってわかります。そのまま計算して式４に合わせます。

Ⅱ-1.

2変数関数の2重フーリエ展開です。後で説明しますが、2次元偏微分方程式の回答にもつながります。式５，６でゲッってなりますが、代入して計算するだけです。

f:id:wjsgksmf818:20200825180451p:plain — 2－1

注意すべき点は $B_{mn}$ が $n$ によって変わる点です。n≠1の場合 0ということが肝です。それによってnのシグマを消せます。

Ⅱ-2.

いよいよ終盤です。偏微分方程式の解き方として典型的な問題です。

関数 $u(x,y,t)$ がそれぞれx,y,zの関数 $X(x),Y(y),T(t)$ の積でなっていると考え、変数を分離しますと関数 $u(x,y,t)$ はいかのように表せます。

$u(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t)$

これをもとに解きます。

f:id:wjsgksmf818:20200825181114p:plain — 2－2

f:id:wjsgksmf818:20200825181146p:plain

上式を満たすとある定数αがなければならないですので下式のように3つの常微分方程式が得られます。

f:id:wjsgksmf818:20200825181149p:plain

$X(x),Y(y)$ を境界条件で求めます。積分定数はそのうち処理するんで今は飛ばします。

f:id:wjsgksmf818:20200825183003p:plain

$T(t)$ も求めます。さっき $u(x,y,t)$ が $X(x),Y(y),T(t)$ の積でなっているとしました。今求めた $X(x),Y(y),T(t)$ の積分定数を除いた積を $u_{kj}(x,y,t)$ とすると下式のようになります。また、解の重ね合わせの原理により $u(x,y,t)$ は新たな係数 $B_{mn}$ を使って表せますよね。

f:id:wjsgksmf818:20200825183250p:plain

あとはこの $u(x,y,t)$ の $B_{mn}$ を計算すれば終わりですが、初期条件である $u(x,y,0)=x(\pi-x)siny$ を用いると、どっかで見覚えがある形ができます。

上式の左辺はまさに右辺の2重フーリエ級数展開を意味してますよね。

私達はもう右辺の2重フーリエ級数展開のⅡ-1でやりました。

そこの $B_{mn}$ を用いて $u(x,y,t)$ を表します。

f:id:wjsgksmf818:20200825183301p:plain

で、最後にωを変形します。いきなりｋとｊがｍとｎに変わってあれってなりますが、ただ問題のｍとｎに合わせて切り替えただけなんです。

f:id:wjsgksmf818:20200825183308p:plain

さっき $B_{mn}$ はn≠1の場合は0になることがわかったので、こう表して終わりです。