ガラクタの箱

主に院試対策

2019年度東京大学大学院工学系物理学第3問

2019 物理学第3問院試解答

解答に入る前に

・情報力不足で解答などを持ってません。自ら作ったものであり、間違っている可能性もあります。ご了承ください。

・数式入力欄に日本語を入力することが非常にめんどいんで簡略化できることろは英語で書かれてます。意味不明の場合はコメントお願いします。

Ⅰ

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f:id:wjsgksmf818:20210503221218p:plain — 1-2

Ⅱ

f:id:wjsgksmf818:20210503221228p:plain — 2

Ⅲ

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2020年度東京大学大学院工学系物理学第3問

2020 物理学第3問

どうせ見る方々も日本語の理解に無理がないと思うので、日本語で書きます。

問題はこちら

解答に入る前に

・情報力不足で解答などを持ってません。自ら作ったものであり、間違っている可能性もあります。ご了承ください。

・数式入力欄に日本語を入力することが非常にめんどいんで簡略化できることろは英語で書かれてます。意味不明の場合はコメントお願いします。

・今年8月に精密工学専攻で受験する予定の者ですが、未だに一人で勉強してます。答案共有のお考えがある方などいれば大歓迎ですので、コメントなりなんなりお願いします。

Ⅰ

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Ⅱ.1

f:id:wjsgksmf818:20210429010332p:plain

Ⅱ.2

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Ⅲ.1

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Ⅲ.2

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Ⅲ.3

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以上です。ファンデルワールス状態方程式を深く勉強していなかったため、少し苦労しましたが、熱力勉強4日目の私にもそこまで難しい問題ではないと思います。

東京大学院工学系数学 2013年度(平成25年度) 第5問

数学第5問院試解答 2013

www.t.u-tokyo.ac.jp

過去問です。ホームページからダウンロードしてください。

平成26年度を飛ばしましたが、実はまだラプラス変換の勉強がまだです。^^;

ラプラスが混じってる年度分はあとで追加します。すみません( TДT)

25年度の5番はちょっと難しかったと思います。実際本番だったらデルタ関数やら行列やらであまり手をつけなくない気分ですが、せっかくなので解いてみましょう。

では始めます。

Ⅰ。

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説明はいらないですよね。ただ式に代入してデルタ関数の性質を利用してます。デルタ関数の性質はいろいろありますが、よく使われる性質は精々2つぐらいかなーって思います。

Ⅱ。

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指数関数の周期を持っているかを確かめる問題です。とある関数がとある周期Tで動くのかを確認するためには、周期T分動かした結果が元の状態と同一または近似するか確認する方法です。

$F_d(w)$ は $w$ の周期関数であるため、共通な周期は $\frac{2π}{kT_0}のk=1の[tex: \frac{2\pi}{T_0}$ ですよね。

なぜ、共通の周期はk=1の場合かってなりますが、最小公倍数をとっているだけです。

Ⅲ。

$f_d(t)$ のフーリエ係数 $d_n$ を計算

$d_n$ を式３に代入して合わせば下式のようになる。

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これもまた、デルタ関数の性質を利用してます。

積分区間にデルタ関数の値が含まれていればその積分値は１を返すという性質です。

$d_n$ がｎに関して周期を持つということはｎ以外の変数は相打ちされ、周期に影響を及ぼさないと予想できます。ならば、周期は $\frac{K}{k}$ が含まれ、共通の周期Lはk=1でKです。

Ⅳ。

K=6の場合

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と表せます。 $d_n$ をもう少し書いてみると問題の行列なんちゃらの話が見え始めると思います。

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で、問題で $d_n$ は６次元列ベクトルfに対してLx6の行列Wを乗じて得られるL次元列ベクトルだと言ってるので

f= 6x1 , d= 6x1 W= 6x6

d=W*fということがわかります。

fは式６で与えられた通りなので、Wは上式の $a^{nk}$ と $\frac{1}{6T_0}$ の積だとわかりますよね。

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で、最後の作業で問題で $a^m, m=0,1,2$ と制限をおいたので、 $e^{-i\frac{2\pi}{6}}$ で $a^2$ 以上のやつは変換させる必要があります。

複数関数論を勉強した方はわかると思いますが、 $e^{-i\frac{2\pi}{6}}$ は、時計回り方向で $\frac{\pi}{3}$ ずつ回転します。

青線と黒線が円と接しているところが. $Re[x$ =1]から $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ です。

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となり、さっきの６ｘ６行列を整理すると

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以上になります。